Propiedades de la esperanza matematica, varianza y desviacion estandar.

Esperanza matemática (µ)

Le esperanza matemática de una variable de tipo aleatoria es una característica numérica que nos da una idea de la localización de la variable aleatoria sobre una recta de números reales, es decir, podemos indicar que la esperanza de una variable aleatoria discreta es un parámetro de centralización o de localización.

Su significado corresponde al valor medio teórico de los posibles valores que pueda tomar la variable aleatoria, o también, con el centro de gravedad de los mismos. Sus propiedades son las siguientes:

·         Es constante: es una propiedad que nos dice que la esperanza matemática de un valor constante es igual a dicha constante y la podemos expresar como:

E(k)=k

·         Es lineal: en esta propiedad podemos definir que la esperanza matemática funciona como un operador lineal, esto es:

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

E(k*X)=K*E(X) Siendo k un número real.

E(a*x+b)=a*E(X)+b Siendo a y b números reales.

·         Monotonicidad: en esta propiedad podemos definir que si tenemos dos variables aleatorias X y Y en las que la probabilidad de X es menor o igual que la de Y se tiene que:

E(X) ≤ E(Y)

Varianza matemática (σ²)

Esta es una característica numérica que nos proporciona una idea acerca de la dispersión de la variable aleatoria respecto a su esperanza, es entonces un parámetro de dispersión, que se puede considerar, además, como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. Su cálculo es distinto tanto para variables discretas como continuas teniendo que:

Para variables discretas se calcula mediante la siguiente expresión:

Var(X)= ∑(Xἱ-E(X))²  ƒ(Xἱ)

                    _XἱϵX(Ω)

Para variables continuas se calcula mediante la siguiente expresión:

           +∞

Var(X)= ʃ(x-E(X))² ƒ(x)dx

           ­­-∞

Su significado se corresponde con el promedio teórico de las desviaciones cuadráticas de los diferentes valores que pueda tomar la variable respecto a su valor medio teórico o esperanza. Sus propiedades son las siguientes:

·         Si X es una variable aleatoria entonces:

Var(x) ≥ 0

·         Si c es una constante entonces:

Var(c * X) = c² * Var(X)

·         Siendo a y b dos números reales entonces:

Var (aX + b) = a²Var(X)

Var (b) = 0

De esta propiedad se deduce que la varianza de una constante es cero

·         Si X y Y son variables aleatorias independientes entonces:

Var (X+Y) = Var(X)+ Var(Y)

Var (X - Y) = Var (X) + Var (Y)

Desviación estándar (σ)

Es una medida de dispersión utilizada en variables cuantitativas o cantidades racionales y se define como la raíz cuadrada de la varianza. Esta nos sirve para conocer con más detalle un conjunto de datos, puesto que es necesario saber la desviación que presentan dichos datos en su distribución con respecto, claro está, a su media aritmética. Según si las muestras tienen el mismo tamaño o no se puede calcular mediante las siguientes expresiones:

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

σ= σ₁² + σ₂² + σ₃² + ...+ σ_n² / n

  Si las muestras tienen distinto tamaño:

σ= k₁ * σ₁² + k₂ * σ₂² +k₃ * σ₃² + ... +k_n*σ_n² /k1 + k2 + k3 + ... +k_n

Sus propiedades son las siguientes:

·  -La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

-Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.

-Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.

-Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.