Propiedades de la esperanza matematica, varianza y desviacion estandar.

Esperanza matemática (µ)

Le esperanza matemática de una variable de tipo aleatoria es una característica numérica que nos da una idea de la localización de la variable aleatoria sobre una recta de números reales, es decir, podemos indicar que la esperanza de una variable aleatoria discreta es un parámetro de centralización o de localización.

Su significado corresponde al valor medio teórico de los posibles valores que pueda tomar la variable aleatoria, o también, con el centro de gravedad de los mismos. Sus propiedades son las siguientes:

·         Es constante: es una propiedad que nos dice que la esperanza matemática de un valor constante es igual a dicha constante y la podemos expresar como:

E(k)=k

·         Es lineal: en esta propiedad podemos definir que la esperanza matemática funciona como un operador lineal, esto es:

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

E(k*X)=K*E(X) Siendo k un número real.

E(a*x+b)=a*E(X)+b Siendo a y b números reales.

·         Monotonicidad: en esta propiedad podemos definir que si tenemos dos variables aleatorias X y Y en las que la probabilidad de X es menor o igual que la de Y se tiene que:

E(X) ≤ E(Y)

Varianza matemática (σ²)

Esta es una característica numérica que nos proporciona una idea acerca de la dispersión de la variable aleatoria respecto a su esperanza, es entonces un parámetro de dispersión, que se puede considerar, además, como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. Su cálculo es distinto tanto para variables discretas como continuas teniendo que:

Para variables discretas se calcula mediante la siguiente expresión:

Var(X)= ∑(Xἱ-E(X))²  ƒ(Xἱ)

                    _XἱϵX(Ω)

Para variables continuas se calcula mediante la siguiente expresión:

           +∞

Var(X)= ʃ(x-E(X))² ƒ(x)dx

           ­­-∞

Su significado se corresponde con el promedio teórico de las desviaciones cuadráticas de los diferentes valores que pueda tomar la variable respecto a su valor medio teórico o esperanza. Sus propiedades son las siguientes:

·         Si X es una variable aleatoria entonces:

Var(x) ≥ 0

·         Si c es una constante entonces:

Var(c * X) = c² * Var(X)

·         Siendo a y b dos números reales entonces:

Var (aX + b) = a²Var(X)

Var (b) = 0

De esta propiedad se deduce que la varianza de una constante es cero

·         Si X y Y son variables aleatorias independientes entonces:

Var (X+Y) = Var(X)+ Var(Y)

Var (X - Y) = Var (X) + Var (Y)

Desviación estándar (σ)

Es una medida de dispersión utilizada en variables cuantitativas o cantidades racionales y se define como la raíz cuadrada de la varianza. Esta nos sirve para conocer con más detalle un conjunto de datos, puesto que es necesario saber la desviación que presentan dichos datos en su distribución con respecto, claro está, a su media aritmética. Según si las muestras tienen el mismo tamaño o no se puede calcular mediante las siguientes expresiones:

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

σ= σ₁² + σ₂² + σ₃² + ...+ σ_n² / n

  Si las muestras tienen distinto tamaño:

σ= k₁ * σ₁² + k₂ * σ₂² +k₃ * σ₃² + ... +k_n*σ_n² /k1 + k2 + k3 + ... +k_n

Sus propiedades son las siguientes:

·  -La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

-Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.

-Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.

-Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.

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Por que y para que utilizar las Distribuciones de Probabilidad en ciencias de la salud. Ejemplo.

-¿Para que utilizar distribuciones de probabilidad en la salud? Para conocer y evaluar todos los posibles resultados (variedad de valores) que se podrían obtener en una posible situación de estudio o simplemente la probabilidad de que dicho evento ocurra o no, y podemos trabajar en base a una aproximación a la realidad, basándose en supuestos.

-¿Por que aplicar una distribución de probabilidad? Porque existe la necesidad de evaluar lo distintos escenarios que podrían presentarse en la realización de un estudio, lo que nos ayudaría a obtener resultados mas precisos, al conocer hacia donde se inclina el estudio y conocer el comportamiento de el estudio (una enfermedad, la rentabilidad de una clínica, la efectividad de una técnica quirúrgica).

Problema:

1)      el ingreso diario de una clínica por motivo de hospitalización sigue una distribución normal con µ=50.000 Bsf y  σ=10.000 Bsf

Hallar:

A-La probabilidad de que en un día cualquiera los ingresos por concepto de hospitalización sean superiores a 70.000 Bsf

B-Si la clínica registra perdidas cuando el ingreso diario es menor a 20.000 Bsf, determinar el porcentaje de días del año que se espera que la clínica tenga perdidas en el área de hospitalización.

Solución A.   

X= {ingreso diario de la clínica por concepto de hospitalización}

Z=  (µ=50.000 Bsf; σ=10.000 Bsf)

A-) P(X>75.000) = P (X-50.000/10.000 > 70.000 – 50.000/10.000)

      P(Z>2) 1-P(Z<2)=1-0.9772= 0.0228

       La probabilidad de que un día cualquiera los ingresos por concepto de hospitalización sean superiores a 70.000 bsf es 0.0228

Solución de B.

P=(X<20.000) = P (X-50.000/10.000 < 20.000-50.000/10.000)

P=(Z<-3.0)=0,0013

Luego, %z<-3.0= 0.0013 x 100 = 0.13%

En consecuencia el 0.13% de los días del año, la clínica reportara perdidas por concepto de hospitalización.

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Planteamiento de un problema de probabilidades asociado a salud.

    Durante el viernes 10 de octubre y el sábado 11 de octubre del año 2014 se registraron 3 accidentes de transito, en este caso motorizados, ocurriendo el primer accidente a las 10:00pm del viernes, el segundo accidente a las 2:00am del día sábado y el tercer accidente a las 4:30am del día sábado. En cada uno de los accidentes solo iba el conductor de cada moto a bordo. Determinar:

a) ¿cual es la probabilidad de que los 2 primeros accidentes registrados, los conductores hayan sido hombres?

b) ¿cual es la probabilidad de que en el ultimo accidente registrado, el conductor haya sido mujer?

c) ¿cual es la probabilidad de que en al menos 1 de los 3 accidentes registrados, hayan estado involucrada una mujere?

d) plantee un plan de acción o solución el cual pueda disminuir los accidentes de transito (en moto) en la ciudad de Mérida.

RESPUESTA

S=espacio muestral

E=evento

S={HHH,HHM,HMH,HMM,MHH,MHM,MMH,MMM}

a) Ea={HHH,HHM}; Ea=2/8; Ea:1/4; Ea=0.25

    Esto quiere decir que la probabilidad de que de cada 4 accidentes, al menos 1 sea hombre.

b)Eb={HHM,HMM,MHM,MMM}; Eb=4/8; Eb=1/2; Eb=0.50

    Esto quiere decir que la probabilidad de que de cada 4 accidentes, al menos 2 terminaron siendo provocados por mujeres.

c)Ec={HHM,HMH,HMM,MHH,MHM,MMH,MMM}; Ec=7/8, Ec=0.875

    Esto quiere decir que la probabilidad de que en al menos 3 de cada 4 accidentes estén involucradas mujeres 

d) Se puede reducir la tasa de mortalidad por accidentes de transito en las que esta involucradas motos a altas horas de a noche mediante la aprovacion de una ley que prohíba la circulación de motos después de las 9:00pm, ya que la mayoria de accidentes registrados de motos los fines de semana son registrados a altas horas de la noche y con chóferes baja efecto del alcohol.

En estadística, lo que desaparece detrás de los números es la muerte. 

                                               

                                                    -Günter Grass.

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Relacion Entre Probabilidad y Salud

    La probabilidad en relación a las ciencias de la salud es de gran importancia para el estudio y análisis de los resultados de investigaciones y experimentos de diversas áreas de salud, principalmente el estudio los resultados sobre tratamientos, fármacos, técnicas quirúrgicas, etc. Para así aplicar dichas conclusiones como bases lógicas y utilizarlas según las probabilidades nos indiquen mayor indice de efectividad según la historia nos haya revelado, como a que tipo de paciente a sido mas efectivo cierto medicamento, o un historial de efectos secundarios de cierto medicamento.

    La oficina de historias medicas del instituto autónomo hospital universitario de los Andes lleva registros de todos los casos, anomalías y procedimientos registrados en dicha institución de gran transcendencia en la región de los Andes, por ejemplo, se estudio la anomalía de el labio hendido, y en la oficina antes mencionada se nos facilito a los investigadores el indice de casos registrados en el estado Mérida en los últimos 5 años (2009-2013), revelando que hubo un total de 104 casos entre varones y hembras recién nacidos, pero de ese total el 63.46% (66 casos) fueron varones, lo que nos indica que la incidencia de labio hendido en el estado Mérida es mayor en varones, concordando esto con las bases teóricas que se conoces actualmente, por lo tanto las probabilidades de que una madre la cual tenga familiares (padre, madre, tíos, otros) con labio hendido aumenta la probabilidad de que su bebe también lo padezca, y estas probabilidades aumentan aun mas si es varón.

    la estadística y la probabilidad van de la mano con las ciencias de la salud, ya que mediante la experimentación y el estudios de resultados (probabilidades, incidencia, estadísticas) permite que los grandes avances en materia de salud sean posibles.

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